Optique : Td 65 05 lentille convergente et dioptre plan
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Cet article explore des concepts fondamentaux en optique géométrique à travers une série de problèmes pratiques. Nous aborderons le calcul de la distance focale d'une lentille convergente et l'effet d'un dioptre plan (interface air/liquide) sur la formation d'images, notamment pour déterminer l'indice de réfraction d'un liquide inconnu.
Problème 1 : Détermination de la distance focale d'une lentille convergente
Une ampoule, agissant comme un objet ponctuel A, produit un point lumineux A' à travers une lentille L. L'objet A est situé à 400 mm à gauche de la lentille, et son image A' est formée à 400 mm à droite de la lentille. En déduire la distance focale f' de la lentille L.
Problème 2 : Effet d'un dioptre plan air/eau sur la position de l'image
Dans la configuration précédente, une cuve d'eau est ajoutée. Le fond de la cuve est situé à 450 mm de la lentille. La hauteur d'eau dans la cuve est h = 201,5 mm. L'image A' (formée par la lentille seule) se comporte maintenant comme un objet pour le dioptre plan air/eau. Montrer que le point lumineux se forme au fond de la cuve, c'est-à-dire que l'image finale A'' est située à la hauteur d'eau h depuis la surface de l'eau. L'indice de réfraction de l'eau est neau = 1,33 et celui de l'air est nair = 1.
Problème 3 : Détermination de l'indice de réfraction d'un liquide inconnu
L'eau de la cuve est remplacée par un liquide d'indice de réfraction inconnu n'. On observe que le point lumineux A'' se forme au fond de la cuve lorsque la hauteur du liquide est h = 250 mm. En déduire l'indice de réfraction n' de ce liquide.
Éléments de Correction Détaillés
Solution 1 : Calcul de la distance focale
Nous utilisons la formule de conjugaison des lentilles minces (formule de Descartes), l'origine étant placée au centre optique O de la lentille et le sens positif étant celui de la propagation de la lumière (de gauche à droite).
- Position de l'objet A : OA = p = -400 mm (l'objet est à gauche de la lentille).
- Position de l'image A' : OA' = p' = +400 mm (l'image est à droite de la lentille).
La formule de conjugaison est :
1/p' - 1/p = 1/f'
En substituant les valeurs :
1/(+400 mm) - 1/(-400 mm) = 1/f'
1/400 mm + 1/400 mm = 1/f'
2/400 mm = 1/f'
1/200 mm = 1/f'
Donc, la distance focale f' de la lentille est :
f' = +200 mm
Solution 2 : Application de la formule du dioptre plan
L'image A' formée par la lentille sert d'objet pour le dioptre plan air/eau. Nous devons déterminer sa position relative par rapport à la surface de l'eau (le dioptre).
- Position du fond de la cuve par rapport à L : 450 mm.
- Hauteur de l'eau h : 201,5 mm.
- Position de la surface de l'eau S (dioptre) par rapport à L : LS = 450 mm - h = 450 mm - 201,5 mm = 248,5 mm.
- L'image A' est formée par la lentille à 400 mm de L.
- Distance de l'objet A' à la surface de l'eau S : SA' = OA' - LS = 400 mm - 248,5 mm = 151,5 mm.
Puisque A' est à 151,5 mm de la surface S et que la surface est à 248,5 mm de L, A' est situé dans l'air (avant la surface de l'eau). Le dioptre est la surface air/eau, avec l'objet A' dans l'air (nair = 1) et l'image A'' se formant dans l'eau (neau = 1,33).
La formule de conjugaison pour un dioptre plan (pour un objet dans le milieu 1 et une image dans le milieu 2) est :
p_image / n_image = p_object / n_object
où p_object est la distance de l'objet au dioptre (SA') et p_image est la distance de l'image au dioptre (SA'').
En appliquant cette formule :
SA'' / n_eau = SA' / n_air
SA'' = SA' * (n_eau / n_air)
SA'' = 151,5 mm * (1,33 / 1)
SA'' = 201,095 mm
Cette valeur est très proche de la hauteur d'eau h = 201,5 mm. Nous pouvons conclure que le point lumineux A'' se forme bien au fond de la cuve.
Solution 3 : Calcul de l'indice de réfraction du liquide
Nous utilisons la même approche que pour la solution 2, mais avec un liquide d'indice de réfraction inconnu n' et une hauteur de liquide différente.
- Hauteur du liquide h : 250 mm.
- Position de la surface du liquide S' (dioptre) par rapport à L : LS' = 450 mm - h = 450 mm - 250 mm = 200 mm.
- Distance de l'objet A' à la surface du liquide S' : SA' = OA' - LS' = 400 mm - 200 mm = 200 mm.
- L'image A'' se forme au fond de la cuve, donc sa distance à la surface du liquide S' est SA'' = h = 250 mm.
En appliquant la formule du dioptre plan :
SA'' / n' = SA' / n_air
n' = SA'' * (n_air / SA')
n' = 250 mm * (1 / 200 mm)
n' = 250 / 200
n' = 1,25
L'indice de réfraction du liquide inconnu est donc n' = 1,25.
FAQ : Questions Fréquentes
Qu'est-ce qu'une lentille convergente ?
Une lentille convergente est un dispositif optique qui fait converger les rayons lumineux parallèles vers un seul point, appelé foyer image. Elles sont généralement plus épaisses au centre qu'aux bords et sont utilisées pour former des images réelles ou virtuelles, agrandies ou réduites.
Comment fonctionne un dioptre plan ?
Un dioptre plan est une interface plane séparant deux milieux transparents d'indices de réfraction différents, comme l'air et l'eau. Lorsqu'un rayon lumineux traverse cette interface, il est réfracté, changeant de direction. La position de l'image formée par un dioptre plan dépend des indices de réfraction des deux milieux et de la position de l'objet.
Pourquoi utilise-t-on des conventions de signes en optique ?
Les conventions de signes (comme la convention de Descartes) sont essentielles en optique géométrique pour attribuer des valeurs positives ou négatives aux distances (objet, image, focale) en fonction de leur position par rapport aux éléments optiques (lentille, dioptre) et du sens de propagation de la lumière. Elles permettent d'utiliser des formules algébriques de manière cohérente pour toutes les configurations, qu'il s'agisse d'objets réels ou virtuels, et d'images réelles ou virtuelles.